[BOJ] 11657 타임머신 (Python3)

문제

N개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 버스가 M개 있다. 각 버스는 A, B, C로 나타낼 수 있는데, A는 시작도시, B는 도착도시, C는 버스를 타고 이동하는데 걸리는 시간이다. 시간 C가 양수가 아닌 경우가 있다. C = 0인 경우는 순간 이동을 하는 경우, C < 0인 경우는 타임머신으로 시간을 되돌아가는 경우이다.

1번 도시에서 출발해서 나머지 도시로 가는 가장 빠른 시간을 구하는 프로그램을 작성하시오.
##
입력
첫째 줄에 도시의 개수 N (1 ≤ N ≤ 500), 버스 노선의 개수 M (1 ≤ M ≤ 6,000)이 주어진다. 둘째 줄부터 M개의 줄에는 버스 노선의 정보 A, B, C (1 ≤ A, B ≤ N, -10,000 ≤ C ≤ 10,000)가 주어진다.

출력

만약 1번 도시에서 출발해 어떤 도시로 가는 과정에서 시간을 무한히 오래 전으로 되돌릴 수 있다면 첫째 줄에 -1을 출력한다. 그렇지 않다면 N-1개 줄에 걸쳐 각 줄에 1번 도시에서 출발해 2번 도시, 3번 도시, …, N번 도시로 가는 가장 빠른 시간을 순서대로 출력한다. 만약 해당 도시로 가는 경로가 없다면 대신 -1을 출력한다.

정답코드

n, m = map(int, input().split())
edges = []

for i in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    edges.append((a, b, c))
INF = 987654321
distance = [INF for _ in range(n + 1)]
distance[1] = 0

def bf(start):
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            cur = edges[j][0]
            next_node = edges[j][1]
            cost = edges[j][2]
            
            if distance[cur] != INF and distance[next_node] > distance[cur] + cost:
                distance[next_node] = distance[cur] + cost
                
                if i == n - 1:
                    return True
    return False
            
if bf(1):
    print(-1)
else:
    for i, d in enumerate(distance):
        if d == INF:
            distance[i] = -1
    for i, d in enumerate(distance):
        if i > 1:
            print(d)

 3 2
 1 2 4
 1 2 3


3
-1

풀이

처음에는 단순하게 다익스트라로 접근해서 거리를 갱신해주려고 했는데, 문제에 음수사이클에 대한 이야기가 있음에도 우선 다익스트라로 풀이했다. 이렇게 코드를 작성하자 두번째 예의 경우에서 무한적으로 음수 간선을 갱신하는 것을 확인할 수 있었다.

다익스트라 풀이

n, m = map(int, input().split())
graph = [[] for i in range(n + 1)]

for i in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append([b, c])
    
import heapq

INF = 987654321
distance = [INF for _ in range(n + 1)]
distance[1] = 0

def djikstra(start, graph):
    q = []
    heapq.heappush(q, [0, start])
    
    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q)
        
        if distance[now] < dist:
            continue
        
        for g in graph[now]:
            cost = dist + g[1]
            
            if distance[g[0]] > cost:
                distance[g[0]] = cost
                heapq.heappush(q, [cost, g[0]])
                
djikstra(1, graph)
                    
for i, d in enumerate(distance):
    if i > 1:
        print(d)

위 코드를 실행하면 무한루프가 도는걸 확인할 수 있다.

우리가 다익스트라를 사용하게 되면 힙큐를 이용해 가장 짧은거리의 간선부터 팝하여 사용하게 되는데, 이 과정에서 음수가 포함되어있으면 무한적으로 해당 노드를 먼저 꺼낸다.

따라서 이를 해결하기위해서는 벨만포드 알고리즘을 사용해야한다.

벨만포드 알고리즘은 음수간선이 있을때도 최소 거리를 구할 수 있는 알고리즘으로, 다익스트라와 비슷한 방법이지만 음수사이클이 있는지를 체크한다. 위 문제에서도 음수사이클 발생시 출력 조건을 주었으므로, 벨만포드 알고리즘을 사용하여 음수 사이클 발생시 작업을 취소하고 -1을 출력하도록 하면 된다.

벨만포드 알고리즘은 모든 간선에서 한번씩 거리를 검증하는 방식으로 노드의 개수가 n 이라면, 모든 간선에 대한 최단 경로 갱신을 n-1번 반복함으로써 최단거리를 계산 가능할 수 있다. n-1 번 반복하면 최단거리가 계산 되는 이유는 결국 어느 노드에서 노드로 이동한다해도 간선의 개수인 최단거리는 n-1개이기 때문이다다.

따라서 이 이상의 최단거리 갱신은 중복탐색이므로 일어날 수 없다.

그렇기 때문에 벨만포드는 중복탐색을 한번 더 진행함으로써, 이때 갱신이 일어나면 음수사이클이 있는 것으로 간주한다.

따라서 전체 노드를 n번 탐색함으로써 음수사이클이 있는 경우를 찾을 수 있다.